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      周向宇院士:《愚公移山》新解

      發布時間:2024-01-29

      「編者按」“中國古代數學的貢獻”一文,作者系周向宇院士。在研究專業數學之余,作者將學習和研究中國古代數學的心得體會與研究成果整理成文,刊發于《數學學報,中文版》2022年第4期。該文闡釋與揭示了中國古代數學對華夏文明的貢獻,對國學、語言、文化的影響,以及對現代數學的影響與貢獻。“數學大院”公眾號將陸續以推文呈現,讓讀者從多方面領略中國古代數學的成就與貢獻。

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      圖片來源:永樂大典.卷10270-10271.子字.明嘉靖隆慶間內府重寫本.美國亨廷頓圖書館藏本

      以下內容節選自“中國古代數學的貢獻”一文第四章“《愚公移山》新解”,作者系周向宇院士。

      下面談談《愚公移山》這個經典寓言故事里包含的數學思想。

      我們過去讀《愚公移山》的時候都知道這個故事詮釋了不怕困難、迎難而上、堅韌不拔、堅持不懈、持之以恒的精神與思想,當然這是最基本的含義。

      4.1 愚公與協商精神

      除此之外,我認為愚公事實上是開協商之先河。我在全國政協小組發言時,委員們也非常贊同,認為這是一個新解。愚公在移山前,組織大家協商討論,并不搞一言堂,而是“聚室而謀”;也不搞形式主義,“其妻獻疑”,還采納了妻子的合理建議。所以《愚公移山》生動詮釋了有事好商量、眾人的事眾人商量、不搞形式主義、真協商、協商于決策之前、決策基于科學等協商精神。

      4.2 愚公的數學思想

      智叟嘲笑愚公不自量力,愚公則回答說:“雖我之死,有子存焉,子又生孫,孫又生子,子又有子,子又有孫,子子孫孫,無窮匱也,而山不加增,何苦而不平?”愚公的回答其實蘊含了深刻的數學思想,前半部分定義了自然數,并且認識到了自然數的加法及其運算規律,有窮與無窮、常量與變量的辯證關系;后半部分則是阿基米德原理。所以說,愚公的移山決策不是主觀決策,而是基于數學原理的。

      4.3 愚公子孫模型

      愚公回答的前半部分,定義了自然數及其加法,也認識到了自然數的無窮性。我們來構建自然數的愚公子孫模型。愚公子孫的輩分集與自然數集構成了一一對應(對輩分集可自然引進加法與減法),并且這個對應保持代數運算。這里的輩分集是愚公子孫的等價類所構成的集合,愚公的兩個后代稱為等價,當且僅當這兩個后代是同一輩分。假設愚公本人對應于,其子輩對應于,其孫輩(即子之子輩)對應于

      依次類推,可以定義自然數的后繼數:設愚公某后輩對應于,則該后輩的子輩對應于。往后數輩分得加法,往前溯輩分得減法。

      我們用愚公子孫模型來表述加法交換律。對應于子輩之孫輩,即曾孫輩,而對應于孫輩之子輩,也是曾孫輩,所以

      一般地, 愚公世孫之世孫,也是愚公世孫之世孫, 這樣就得到交換律。用愚公子孫模型也可以闡釋加法結合律??紤]三個數相加,前兩者相加可得,后兩者相加則得。已經證明,故

      這就是結合律。

      習知,19世紀末皮亞諾提出(5條)皮亞諾公理來構造自然數的算術系統。在我看來,愚公子孫模型更加簡介、生動和自然,只需兩個公理:

      (1)存在始祖愚公。

      (2)愚公家族血脈流淌,即愚公家族的任一輩(代)均有子輩。

      這個模型反映了自然數作為基數與序數的特點。這個模型蘊含歸納公理,反映了數學歸納法原理,一個關于愚公家族的命題對世世代代(所有輩分)都成立,只需:1、命題對愚公成立;2、若命題對愚公家族某代成立,則對其子輩也成立。比如愚公家族世世代代愛勞動,只需知道:1、愚公愛勞動;2、若愚公家族某一輩愛勞動,則其子輩也愛勞動。

      4.4 愚公原理

      愚公說:“子子孫孫,無窮匱也,而山不加增,何苦而不平?”假設太行、王屋二山的土石方量為,假設愚公家族每一代能挖的土石方量至少為。非常大,但山不加增,所以是一個常數。可能非常小,但它總大于,一代人能挖,代人就能挖。因為子子孫孫無窮匱,是變數,可以趨于無窮大?!昂慰喽黄健笔钦f,總可以找到自然數,使得

      這個結果在教科書里通常被稱為阿基米德原理??梢?,愚公的思想是深刻的。

      4.5 愚公數學思想的擴充

      有趣的是,愚公子孫模型還可以擴展為祖孫模型。愚公祖孫的輩分集與整數集構成了一一對應,并且保持代數運算;負數是有意義的,小的數可以減大的數。如何定義負整數和減法呢?愚公對應于,他的父輩對應于,他的祖父(父輩之父輩)則對應于。如果愚公的某祖輩對應于,則該祖輩之父輩對應于,這樣就可以定義減法。中國古代數學很早就認識并使用負數,而西方長期不承認負數、認為小數不可以減大數。愚公的孫子的曾祖是愚公之父,對應于,這就是小數減大數,有鮮活的意義。愚公的曾祖的孫子也是愚公之父,對應于,因此交換律仍然成立。結合律的證明同理。

      4.6 《愚公移山》的浪漫主義

      愚公的堅持不懈感天動地,感動上天。愚公受上天助力,移山成功。小時候讀到這時,覺得這是不是迷信。后來做數學,思考數學問題,費時長久,還是未能攻破,但依然久久為功、堅持不懈,到某時不知何故卻豁然開朗,靈感出現,終攻破難題,真是天助也。常言道“天道酬勤”也許就是在詮釋這種現象吧。

      4.7 愚公開辟克難學

      我認為愚公開啟了計量克難學。記愚公家族到第代的克難量為,則有愚公克難公式

      《愚公移山》有現實意義:

      例子1學前兒童面對中學、大學學習內容,猶如愚公碰到大山一樣,困難當然很大??墒侵灰獙W生在小學、初中、高中各個階段,每學年、每學期都按部就班完成學習任務,堅持不懈,就能完成學業。

      例子2:實現GDP大幅增長的長期宏偉目標,看起來困難很大,但只要我們不怕困難,迎難而上,按部就班完成每年計劃、五年規劃,堅持不懈,就能實現目標。

      愚公克難公式是線性的。愚公的感天動地,可以認為他得到非線性量的幫助, 所以這時有

      這里是非線性量或突變量。這反映出量變到質變的道理、突變發生現象。

      有時困難量不是常量,這時情況復雜。記困難函數為面臨的困難量、克難函數為克服困難的力量,它們涉及的變量、因素多。戰略上藐視困難:相當于說,困難函數相比于克難函數是無窮小量,可寫成,即困難函數與克難函數之比趨于零。為了做到這,就需在戰術上重視困難,比如采取措施使困難函數成有界函數,讓克難函數成單增無界函數。

      參考文獻

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      [10] 周易、老子、墨子、列子、莊子、孟子、荀子、管子、韓非子、左傳、淮南子、貞觀政要, 中華經典名著全本全注全譯叢書, 北京: 中華書局, 2010--2019.


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      原文載于《數學學報,中文版》2022年第四期,由編輯部授權轉載。



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