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      周向宇院士:中國古代數學的成就

      發布時間:2024-01-25

      「編者按」“中國古代數學的貢獻”一文,作者系周向宇院士。在研究專業數學之余,作者將學習和研究中國古代數學的心得體會與研究成果整理成文,刊發于《數學學報,中文版》2022年第4期。該文闡釋與揭示了中國古代數學對華夏文明的貢獻,對國學、語言、文化的影響,以及對現代數學的影響與貢獻?!皵祵W大院”公眾號將陸續以推文呈現,讓讀者從多方面領略中國古代數學的成就與貢獻。

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      圖片來源:永樂大典.卷16343-16344.算字.明嘉靖隆慶間內府重寫本.劍橋大學圖書館藏

      以下內容節選自“中國古代數學的貢獻”一文第三章“中國古代數學的成就”,作者系周向宇院士。

      3.1 代數思想

      中國古代很早就有了零的思想,比如在籌算中用空位表示零。零不僅指各個數位上的零(用空位表示,后用圓圈O),也包括運算結果中的零。中國古代很早就引進了負數,在《九章算術》里就很明確地引進了負數、加法的逆運算減法及其運算規則(交換律、結合律),乘法的分配律,乘法的逆運算及分數及其運算律,這是數學發展中的一個里程碑。所以說,中國古代數學最早認識、發現、引進了第一個無限群、環、域(整數群、整數環、有理數域);另外還引進了矩陣(matrix),發現了消元法(Gaussian elimination),解決了線性方程組求解問題(Cramer's Rule for system of linearequations)。

      《九章算術》是一部十分重要的數學著作,總結了戰國、秦、漢時期的數學成就,西漢的張蒼、耿壽昌等曾經做過增補和整理,后來劉徽給它作了注解。雖然最后成書于東漢前期(公元一世紀左右),但許多內容顯然早已存在于先秦。這從劉徽為《九章算術》作的注就可看出。負元(逆元)、逆運算及其運算規律的引進使得運算變得方便靈活,完滿解決了運算問題,為抽象代數的產生奠定了基礎。對其意義與價值,套用拉普拉斯關于十進位值制的話來評價是不過分的。

      3.2 天元術

      中國古代數學用算籌計算圓周率,開平方根、立方根和更高次的根,對多項式方程進行數值求解。此外,中國古代數學還引進了未知量“天元”,國家自然科學基金有一個“數學天元基金”,就是為了紀念中國古代引進了變量、未知量、待定量?!八卧慕堋崩钜?、秦九韶、楊輝、朱世杰建立、整理和發展了天元術,而到了朱世杰時期已經發展成為了天、地、人、物四個變元。

      在宋元四杰時期(大約為十三、十四世紀),中國數學的發展達到了一個高峰,比如十進分數。比如秦九韶的大衍求一術(1247年),這個結果被稱為中國剩余定理(高斯后來重新發現)。又比如高次方程的數值解法,也是秦九韶基于很多古代數學家的貢獻發展總結而來的。西方在19世紀重新發現這個方法,并稱為霍納方法(Horner's scheme),在前蘇聯編撰的《數學百科全書》的相應條目“Horner's scheme”里、

      3.3 極限思想

      再來談談中國古代的極限思想?!肚f子·天下》有句惠子名言: “一尺之棰,日取其半,萬世不竭?!钡谝惶烊∧鹃㈤L度的,第二天取,了第天取,萬世都不會窮盡。寫成式子,即

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      后面必然需要省略號“......”。

      另外,《墨子·經下》有句話的意思是說, 一條線段從中點分為兩半,取其一半再破成兩半, 仍取一半繼續分割, 直到不可分割時就只剩一個點?!赌印そ浵隆罚骸胺前敫?span style="padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; text-wrap: wrap; font-family: arial, 宋體, sans-serif, tahoma; box-sizing: border-box !important; overflow-wrap: break-word !important;">[著斤] (編者注:該字左著右斤,讀作zhuó,因GBK編碼無法顯示該生僻字,故本文以[著斤]代替),則不動, 說在端?!边@里,[著斤](zhuó) (注:有的書也用斫)意指:用刀斧砍?!督浾f下》曰:“非[著斤]半,進前取也。前則中無為半, 猶端也。前后取,則端中也。[著斤]必半,毋與非半,不可[著斤]也”。墨子的半分法體現了(事實上等價于)區間套原理。半分法可以用來證明數學分析里的幾個重要、被認為有難度的定理。比如證明致密性定理、聚點定理、有限覆蓋定理,還有連續函數的零點存在定理、Henstock--Kurzweil積分中的基礎---Cousin引理(對閉區間上的任一正函數,總存在閉區間的-細度分劃(-fine Perron partition)) (HK積分僅對黎曼積分做些許改動,就蘊含了勒貝格積分),其實用的都是墨子的半分法。

      另外,惠子的取半、墨子的半分及王爾的半中說明古人應該很早就會用尺規平分線段。

      劉徽和祖沖之的“割圓術”也蘊含了極限的思想。祖率(密率)


      是非常巧妙的。祖沖之和他的兒子祖暅編寫了《綴術》,這本書是唐朝算學科最難的課本。祖暅原理“冪勢既同,則積不容異”, 就是說:如果兩個立方體的所有等高的橫截面積全都相等,則它們的體積必相同(這里“既”是“全、都”之意)。這在微積分里被西方稱為卡瓦列里(Cavalieri)原理。祖暅用其原理求出“牟合方蓋”的體積,進而得出球體積, 解決了劉徽遺留問題。

      《綴術》代表了當時數學的最高水平, 但“學官莫能究其深奧,是故廢而不理”, 這本書最終失傳了, 這是十分遺憾的事情。在我看來,《綴術》蘊含極限思想, 光從書名來看, “綴”就有連續的含義。

      明朝數學家王文素及其《算學寶鑒》對數學有重要貢獻, 比如對于17世紀微積分創立時期出現的導數, 王文素在16 世紀已發現并使用。

      上述成就當然是基礎數學的成就, 只是中國古代數學的一小部分。

      參考文獻

      [1] 毛澤東, 改造我們的學習, 毛澤東選集第三卷, 北京: 人民出版社, 1991:797.

      [2] Cajori F., A History of Mathematical Notations, Dover Publications, Inc. New York, 1993:70.

      [3] Gowers T. (Ed.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.

      [4] 吳文俊, 對中國傳統數學的再認識, 百科知識, 1980年第7--8期.

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      [6] 卡爾·博耶(Carl B. Boyer)著, 尤塔·梅茲巴赫(Uta C. Merzbach)修訂, 數學史(修訂版), 中央編譯出版社, 2012.

      [7] 吳文俊主編, 世界著名數學家傳記, 花拉子米, 北京: 科學出版社, 1995.

      [8] 李文林, 數學史概覽, 北京: 高等教育出版社, 2000.

      [9] 中國大百科全書,數學卷, 數學編輯委員會主任: 華羅庚, 蘇步青, 北京: 中國大百科全書出版社, 1992.

      [10] 周易、老子、墨子、列子、莊子、孟子、荀子、管子、韓非子、左傳、淮南子、貞觀政要, 中華經典名著全本全注全譯叢書, 北京: 中華書局, 2010--2019.


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      本文原載于《數學學報,中文版》2022年第四期,由編輯部授權轉載。


      文章來源:數學大院


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      華羅庚先生是我國著名數學家,他熱愛祖國,獻身科學事業,一生為發展我國的數學事業和培養人才做出了卓越貢獻。

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      國際數學大師陳省身教授是美籍華裔數學家、中國科學院外籍院士。他非常關心祖國數學事業的發展,幾十年來在發展我國數學事業、培養數學人才等方面做了大量工作。

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      鐘家慶教授生前對祖國數學事業的發展極其關注,并為之拚搏一生。為了紀念并實現他發展祖國數學事業的遺愿,數學界有關人士于1987年共同籌辦了鐘家慶基金,并設立了鐘家慶數學獎,委托中國數學會承辦。

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