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      袁亞湘院士:黃金分割淺談

      發布時間:2023-06-30

      中國數學會第十一屆全國數學文化論壇于 2022 年 7 月 29 日 ? 8 月 1 日在河南大學順利召開。中國數學會監事長袁亞湘院士作大會報告《黃金分割淺談》,以下是報告實錄。


      今天我只講數學文化的一個小例子——黃金分割。黃金分割是在中學就接觸到的、非常初等的知識。


      黃金分割的歷史


      黃金分割比例在《幾何原本》中稱為中末比,其定義如下:把一條線段分成兩段,整段比長段等于長段比短段。歐幾里得用幾何作圖的方法將線段分劃為中末比。


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      (一)
      《幾何原本》中的中末比


      第六章命題 30:將給定線段 (AB) 分成中末比。

      歐幾里得在沒有無理數概念的前提下,利用了很多引理通過幾何的方法得到中末比。給定一條線段 AB,如何將給定線段 (AB) 分成中末比,歐幾里得的做法是:以 AB 為邊在上面畫一個正方形 ABHC,在 AB 上找一點 E 使得以 AE 為邊長的正方形與EB 為邊長的四邊形 EBHF 面積相等。

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      如何用幾何畫圖的方法找到具備此性質的 E ?歐幾里得需要用到書中的其他引理。中末比有很多神奇的性質,在《幾何原本》里有大量命題是關于這個中末比,否則歐幾里得也不會特意定義這個比例。

      第十三章命題 1:如果把一個線段分成中末比,則長段加整段的一半之和為邊的正方形面積等于整段一半邊長的正方形的 5 倍。

      現在我們用中末比的精確值就能簡單推出這一結果,但當時歐幾里得是不知道中末比的具體數值的。

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      第十三章命題 8:一個等邊等角的正五邊形,用線段順次連接兩角,則連線交成中末比,且長段等于五邊形的邊。

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      第十三章命題 9:同圓內的內接正六邊形的邊長與內接正十邊形的邊長之比是中末比。

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      第十三章命題 17:求作已知球的內接十二面體,證明這十二面體的邊是稱為余線的無理線段。

      推論:當立方體的一邊被分成中末比時,長段是十二面體的邊長。

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      用幾何作圖的方法能得到很多這種幾何圖形。上面這幾個《幾何原本》中的命題都跟中末比有關系。


      (二)
      對中末比的推崇


      16 世紀意大利著名數學家帕喬利的著作《神圣比例》就談到了中末比,這本書插畫的作者是達 ? 芬奇。

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      有很多數學家非常推崇中末比。被很多人認為是有史以來最偉大的數學家牛頓,提出的三大定律是基于開普勒的三大定律。所以,毫無疑問,開普勒也是一個偉大的科學家。開普勒對中末比是非常推崇的,他說:幾何學有兩大珍寶:一個是畢達哥拉斯定理(勾股定理),另外一個是中末比。前者可比金子,后者可稱寶玉。由此可見,中末比在幾何學中地位的重要性。

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      (三)
      黃金分割名字由來

      “黃金分割”這個名字并不是由開普勒提出來的,是一位名叫歐姆的數學家命名的,他非常推崇中末比,覺得這個比例太美好了,所以就給這個中末比取了一個美好的名字——黃金分割(goldener Schnitt),其中“黃金”是形容詞,指“像金子般的”,“分割”是名詞?!包S金分割”翻譯成中文應該是“像金子般的比例(分割)”,之所以用“黃金”來命名,是因為在歐洲文藝復興時期,人們喜歡用“金子般的”來形容事物的美好。所以“黃金分割”的意思應該是“很美好的比例”。


      (四)
      中末比與黃金分割

      在國際上,黃金分割通常就是指中末比。 而在我們國家因歷史原因,更多的是將中末比的倒數稱為黃金分割,這和中末比差 1,也就是把中末比小數點前面的 1 去掉。

      中末比:

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      (黃金分割)黃金分割比例:


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      有趣的公式


      (一)
      中末比的有趣公式:無窮根式

      關于中末比有很多有趣公式,首先是它本身加 1 再開方,仍然是它本身,繼續本身加 1 再開方還是它本身,可以一直遞推下去,即如下式子:

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      (二)
      黃金分割的有趣公式:連分數

      同理,也有如下形式的連分式:

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      黃金分割應用


      (一)
      黃金分割與建筑


      1.古埃及胡夫大金字塔


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      胡夫大金字塔的斜面中線長是 611.75 英尺,斜面底邊一半是 378 英尺 ,這兩個相除611.75/378≈1.618 恰好是中末比。大家可能覺得會是巧合,但巧合一般不會精確到小數點后四位,千分之一或萬分之一這種精確度,所以建筑師一定知道這個中末比。

      2. 雅典帕特農神廟

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      雅典的帕特農神廟,它的寬約等于 31 米,高約等于 19 米,高和寬的比例基本上非常接近于黃金分割比例 19/31≈0.613,而且雅典帕特農神廟存在大量黃金分割比例。由此可見,古希臘的建筑師一定是數學家。


      3. 巴黎圣母院、印度泰姬陵、北京電視塔、上海東方明珠

      法國巴黎著名建筑巴黎圣母院,它的第一層和第二層的比例,第二層和第三層的比例都滿足中末比。印度泰姬陵里的一些布局、北京電視塔(238/386.5≈0.616)、上海東方明珠(289.2/468≈0.618)都存在黃金分割比。


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      (二)
      黃金分割與繪畫



      達·芬奇與黃金分割


      著名畫家達?芬奇也是一位數學家,《維特魯威人》的底稿中有很多線段都滿足黃金分割比。

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      名畫《蒙娜麗莎》存在大量的黃金分割比例;《最后的晚餐》這幅畫的布局、畫中建筑背景的分劃都用到了黃金分割比例

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      米開朗基羅與黃金分割


      著名畫家米開朗基羅《創世紀》的布局同樣用到了黃金分割比例。

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      修拉與黃金分割


      印象派畫家修拉的《安涅爾浴場》中整個畫面的布局、海岸線高度、人物位置的布局都遵循黃金分割比例。

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      (三)
      黃金分割與雕塑

      號稱世界最美雕塑——維納斯,她從腳下到肚臍的高度跟整個雕塑的高度符合黃金分割比。同樣涉及黃金分割比的雕塑還有《大衛》、《多里弗羅斯》和《宙斯》。

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      (四)
      黃金分割與音樂

      在音樂方面,貝多芬的第五交響曲,它的第一樂章按照主題部分和再現部分成兩部分,前面主題部分有 377 音節,后面再現部分有 233 音節,233/377≈0.618,所以貝多芬他在布局自己第一樂章的兩部分時完全是選擇了滿足黃金分割比例。

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      將莫扎特《第 1 鋼琴奏鳴曲》的第一樂章分成兩部分:前面主題部分和后面再現部分。前面主題部分是62 小節,后面再現部分是38 小節,這兩部分的比例為0.613,也是黃金分割比。

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      J. Ryden 在論文《Statistical Analysis of Golden-Ratio in Piano Sonatas by Mozart and Haydn》中對所有的奏鳴曲(莫扎特、海頓)進行統計,并畫了一條 0.618 斜線,發現第一樂章主題部分跟再現部分音節比例基本上都落到這條直線附近,也就是基本上這兩段的比都接近于 0.618,可見,音樂家在寫樂章的時候,這種比例最舒服。

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      樂器上也存在黃金分割。著名小提琴 Lady Blunt (1721) 18 世紀小提琴制作大師Antonio Stradivari 制作。關于這把小提琴之所以命名為 Lady Blunt, 是因為 Lady Blunt(她是拜倫孫女的女兒)曾收藏它達 30 年。該小提琴 2011 年拍賣成交價高達1000 萬英鎊。這把小提琴不僅音質好,有趣的是它在形狀設計上,各個部分有很多是滿足黃金分割比例。

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      (五)
      黃金分割與自然

      黃金分割在自然界也是大量存在的。奧黛麗 ? 赫本臉部各部分比例符合黃金分割比,由此可見,不僅達芬奇畫中的美人“蒙娜麗莎”存在黃金分割比,現實生活中大家公認的美人“奧黛麗 ? 赫本”長相也符合這個比例。

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      大自然中的螺和玫瑰長相也符合黃金分割比例。

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      向日葵上的螺旋線順時針數 34 條,逆時針 55 條,34/55≈0.618。同一個松果上的螺旋線條,順時針數 8 條,反向再數就變成了 13 條,也接近黃金分割比,是不是很神奇?

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      黃金分割比例也存在于大自然中的樹枝分叉、樹葉,甚至蝴蝶、鸚鵡等很多地方長得都符合黃金分割比。

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      (六)
      黃金分割與科學

      在科學中,黃金分割也是廣泛存在的,對于當前疫情下的核酸檢測,基本都是采用混合檢測。實際上對于混合檢測,上世紀美國征兵時對于血液的檢測就采用了混檢的方法。數學家可以證明:當陰性樣本比例大于黃金分割(61.8%)時,混合檢測法要優于逐一檢測法,可以節省人力和物力。

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      Lionel Penrose Roger Penrose構造的幾何鋪砌(如下圖)的邊長實際上都滿足黃金分割比。

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      在物理學中的量子力學等相關學科里面,很多常數,甚至在一些黑洞理論的研究里實際上都與黃金分割有關。

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      在化學中,液晶的結構滿足黃金分割比例。

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      在生物學中,DNA序列的螺旋結構也符合黃金分割比例。

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      (七)
      黃金分割與斐波那契數列

      實際上,在很多科學領域里面常常出現黃金分割比例,與黃金分割比例密切相關的就是斐波那契數列。Fibonacci 1202 年出版的一本書《Liber Abaci》( 算書,1202)中介紹兔子繁衍的問題。

      假設每對兔子在出生兩個月以后每月生一對兔子,從一對兔子開始,一年后共有多少對?

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      斐波那契數列:

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      有很多數學機構喜歡在墻上畫上、印上或者雕刻上斐波那契數列,我放了兩張照片,第一張照片是北歐一座建筑的外墻,設計師用兩種顏色標注了斐波那契數列,深顏色的代表已經過去的斐波那契年,上一個斐波那契年是1597年,下一個斐波那契年是2584年。

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      斐波那契數列有很多有趣的公式:

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      斐波那契數列還和二項式展開系數有關系,二項式展開系數在我國通常稱為“楊輝三角”。二項式(a+b)n展開系數

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      斐波那契數列不僅有一些初等的性質,還有一些比較高深的跟數論有關的如下性質:

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      斐波那契數與黃金分割


      斐波那契數與黃金分割的關系密切。相鄰的兩項斐波那契數之比的極限恰好是黃金分割。

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      (八)
      生活中的黃金分割

      生活中也可以看到大量黃金分割,如建筑、攝影、女孩子穿高跟鞋、韓裝的設計、芭蕾舞等。

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      斐波那契數列巧用

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      用斐波那契數列可以快速在英里和公里之間進行換算:

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      巧記 0.618

      6 月 18 日誕生的名人或你認識的人。

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      中共六大 (1928.06.18, 莫斯科)

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      (九)
      黃金分割法

      我國著名數學家華羅庚先生著作《優選法》第一章就介紹了黃金分割法和分數法。上世紀 60 年代,華羅庚先生在全國大力推廣優選法。

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      華羅庚先生講優選法實際上就是如何找到一個單值函數的最大值點,其中一個做法就是先選兩個點 0.3、0.7,如果 0.7 這個點比較高的話,我們從邏輯上可以推出 0 到0.3 之間沒有最高的點(可以用反證法證明),即:

      f(x) 連續、單峰(唯一最大值點)

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      就把 [0,1] 上的問題轉化成 [0.3, 1.0] 上的問題。

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      對一般區間 [a,b],取 c < d ∈ [a,b],比較 f(c) 與 f(d),有

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      通過把包含解的區間不斷縮小,就可以得到任意精度的近似解。

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      這里存在 c, d 如何選取的問題。我們希望留下的區間盡可能短 (最壞情形下最好),即 max{b-c, d-a} 達到最小,于是有 c ≈ d = (a + b)/2,也就是兩點對分法。問題來了,通過重復利用,對分法,是不是計算函數值最少?

      我們看一個例子,重復利用對分法(4 次函數計算):

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      我們還可以采用 4 個點的另外一種取法:

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      顯然可以發現,反復利用對分不是最好的!

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      我們再看看多點綜合選?。?/span>

      1)三個點:先取 c =1/3,d =2/3

               去掉一截之后,區間縮至 [0, 1/3, 2/3]

      在 1/3 附近再加一點可將區間縮至 [0, 1/3];

      2)四個點:去掉一截后成三個點的情形

      于是取 c =2/5,d =3/5。

      如果允許計算 k 次函數值(斐波那契數列),c 、d 的最優選取為:

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      最終區間長度為原區間的68.png,于是根據黃金分割法(0.618 法),取 c =1?Φ ≈ 0.382,d = Φ ≈ 0.618。

      k 次函數值計算后,區間長度為初始的69.png:

      70.png

      可以證明:黃金分割是最優的固定分劃方法!

      黃金分割法給我們的啟示如下:美好的東西常常是有用的,有用的東西通常是優美的,解決問題很重要,能用好的方法去解決問題更重要。謝謝大家!


      數學會獎項

      華羅庚獎

      華羅庚先生是我國著名數學家

      華羅庚先生是我國著名數學家,他熱愛祖國,獻身科學事業,一生為發展我國的數學事業和培養人才做出了卓越貢獻。

      陳省身獎

      陳省身教授是一位國際數學大師

      國際數學大師陳省身教授是美籍華裔數學家、中國科學院外籍院士。他非常關心祖國數學事業的發展,幾十年來在發展我國數學事業、培養數學人才等方面做了大量工作。

      鐘家慶獎

      鐘家慶教授生前對祖國數學事業的發展極其關切

      鐘家慶教授生前對祖國數學事業的發展極其關注,并為之拚搏一生。為了紀念并實現他發展祖國數學事業的遺愿,數學界有關人士于1987年共同籌辦了鐘家慶基金,并設立了鐘家慶數學獎,委托中國數學會承辦。

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